Con "proiezioni piane" indichiamo
quelle rappresentazioni della sfera terrestre che utilizzano come
piano di proiezione un vero e proprio "piano" appunto.
Nonostante, come è logico, tali proiezioni si possano applicare a
qualsiasi punto della terra (ed esistono, "centrografica piana
equatoriale" o altre), per ovvie ragioni di simmetria, le più
interessanti sono quelle che hanno come punto di tangenza tra la
sfera e il piano i due poli terrestri.
Le due proiezioni che ci interessano sono la "centrografica
polare" o "gnomonica polare", che ha come fuoco della proiezione il
centro della terra, e la "stereografica polare" che ha come fuoco di
proiezione il polo opposto a quello di tangenza. |
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Proiezione
centrografica polare |
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In questo tipo di proiezione i meridiani sono semirette,
raggi delle circonferenze che rappresentano i paralleli, e che
quindi convergono al polo di tangenza.
Dal momento che il fuoco di proiezione è il centro della terra, le
linee rette tracciate sul piano di proiezione corrispondono a cerchi
massimi.
Pertanto la proiezione centrografica o "gnomonica" rettifica
esattamente le ortodromie.
In compenso non è isogona (basti pensare all'impossibilità di
rappresentare l'equatore e quindi alle deformazioni cui andiamo
necessariamente incontro allontanandoci dal polo di tangenza). |
| I paralleli, come ben possiamo immaginarci, sono
cerchi concentrici con centro nel polo di tangenza e di raggio
uguale a
NP1=R*cot f
La dimostrazione è abbastanza semplice:
consideriamo i triangoli ONP1
e OEB, entrambi rettangoli
in N ed E.
Sono simili in quanto, ad esempio, sono uguali l'angolo in O
di OEB e l'angolo in
P1 di ONP1,
ottenuti tagliando due rette parallele con una trasversale.
Vale allora la relazione: ON : NP1
= EB : OE.
Essendo poi evidentemente ON = OE
= R, ed EB = R*tan
f, possiamo scrivere:
R : NP1
= R*tan f : R
da cui si ricava immediatamente
NP1
= R/tan f = R cot
f
che è quanto volevamo dimostrare. |
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Da quanto abbiamo visto è evidente come una carta di questo
tipo non possa essere utilizzata altro che per rappresentare
le zone circumpolari.
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Proiezione
stereografica polare |
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In questo tipo di proiezione il fuoco è sul
polo opposto.
Come per la proiezione centrografica i meridiani sono semirette
che convergono al polo di tangenza e i paralleli circonferenze.
Questa volta è però possibile rappresentare l'intero emisfero,
sino all'equatore.
Inoltre la proiezione stereografica è isogona.
Nelle immediate vicinanze del polo (sicuramente oltre le
latitudini di 80°N, ma con buona approssimazione già a 70°N) la
carta è praticamente identica alla centrografica vista prima
(per quelle latitudini vale la relazione
 ,
con f
espresso in radianti).
La distanza del punto proiettato P1
dal polo di tangenza vale:
Questo ricordando che l'angolo alla
circonferenza vale la metà dell'angolo al centro che insiste
sullo stesso arco (vedere le lezioni di geometria) e che,
ovviamente, stavolta è SN = 2R il cateto del triangolo
rettangolo SNP1
su cui si appoggia l'angolo in S.
La carta stereografica polare è quella raccomandata dall'ICAO
per la rappresentazione delle regioni circumpolari. |
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