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La carta di Lambert

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Johann Heinrich Lambert nasce a Mulhouse, in Alsazia nel 1728.
Lascia la scuola e comincia a lavorare come sarto nella bottega del padre a 12 anni.
Nonostante ciò continua a studiare per conto suo, aiutato da Daniel Bernoulli (si, proprio quello del teorema di Bernoulli), e già nel 1746 pubblica i suoi primi studi.
Tra le sue amicizie figurano tutti i più importanti matematici e fisici del tempo, tra cui Eulero.
Oltre che nella cartografia si espresse nella matematica pura, è a lui che si deve la dimostrazione dell'irrazionalità del pi greco.
La carta di Lambert è una costruzione interamente matematica piuttosto complessa che fa riferimento alla proiezione conica.
La proiezione conica si ottiene proiettando appunto tutti i punti della sfera su di una superficie conica a questa tangente.
La semplice proiezione conica, ottenendo deformazioni di diversa entità nel senso della latitudine e della longitudine, non è però isogona.
Lambert ebbe appunto il merito di renderla tale apportando delle modifiche nell'algoritmo costruttivo.
In queste pagine non ci occupiamo della vera e propria costruzione di Lambert, ma semplicemente, partendo dalle caratteristiche di una proiezione conica, vediamo come si può riprodurre il reticolo geografico di una proiezione conica modificata semplicemente correggendo le deformazioni nel senso della latitudine (cioè mantenendo costante nella nostra costruzione il valore del grado di latitudine).
Questo non è l'algoritmo di Lambert, che invece, per mantenere l'isogonia, comporta variazioni sensibili nella rappresentazione delle distanze nel senso della latitudine per renderle compatibili con le deformazioni che incontriamo nel senso della longitudine.
E' però, se consideriamo un intervallo di latitudine sufficientemente ridotto, una buona approssimazione.
Proiezione conica standard - raggio del parallelo fondamentale.
Il raggio R0 di curvatura del parallelo fondamentale è la prima proprietà da individuare nella nostra proiezione.
Da qui partiremo per costruire la nostra carta.
Dalla figura, ricordando semplicemente le definizioni delle funzioni trigonometriche fondamentali, vediamo come il raggio R0 sia proprio la cotangente della latitudine f, ovviamente moltiplicata per il raggio della sfera R.
A questo punto dobbiamo trovare l'angolo a.
Questo ci servirà per calcolarci il fattore di convergenza n = a/360° che ci permetterà di tracciare i meridiani.
Come vediamo dalla figura a destra, l'arco che sulla nostra proiezione rappresenterà il parallelo fondamentale (la base del cono) è uguale (fate riferimento al cono "srotolato" sul piano) è 2p*R0*a/360°(cioè la circonferenza di raggio R0, divisa per 360° e moltiplicata per l'arco a.)
Ma lo sviluppo dello stesso parallelo vale anche 2p*R1(è la base del cono o, se preferite, la circonferenza costruita tagliando la sfera col piano che definisce il parallelo fondamentale).
Vale quindi la relazione:

2p*R0*a/360°=2p*R1

Ricordando che il fattore di convergenza n era proprio n = a/360° scriveremo:

2p*R0*n=2p*R1

Sempre ricordando semplicemente le definizioni delle funzioni trigonometriche, si riconosce come sia R1= R*cosf.
Nello stesso modo ricordiamo che R0= R*cotf e ancora (sempre le proprietà fondamentali delle funzioni trigonometriche) cotf=cosf/senf.
Sostituiamo nella relazione precedente e troviamo:


2p*R*cosf/senf*n=2p*R*cosf

Che si semplifica dividendo ambo i membri per i termini comuni 2p, R e cosf.

n/senf=1

Che è come dire:

n=senf

Riassumendo, le relazioni fondamentali necessarie alla costruzione della nostra proiezione conica sono poi abbastanza semplici:

R0= R*cotf

e

n=senf
 

Disegniamo adesso in modo approssimato la nostra proiezione di Lambert, dati il parallelo fondamentale e l'intervallo di longitudine per il quale vogliamo rappresentarla.
Si voglia ad esempio costruire la proiezione sul parallelo fondamentale di lat. 40° N, tracciando paralleli e meridiani distanziati sia in latitudine che in longitudine di 10°.
Supponiamo che il raggio della nostra sfera sia di 1 metro (1000 mm).
Individuato il centro della proiezione (diciamo "il Polo Nord")calcoliamoci R0 come 1000*cot 40° = 1191mm.
Con apertura di compasso 1191 puntiamo sul nostro Polo Nord e tracciamo un arco di circonferenza che rappresenterà il nostro parallelo fondamentale.
Adesso calcoliamoci quanto valgono nella nostra scala i 10° di latitudine.
Volendo mantenere inalterata la scala lungo la latitudine (approssimazione che non corrisponde alla costruzione di Lambert, ma abbastanza corretta per i nostri scopi), saranno 10° Df= 1000*2p*10/360 = 174mm.
Tracciamo quindi i paralleli di latitudine Nord 50° e 60° e poi 30° e 20° tracciando altri archi con centro nel nostro Polo Nord e distanziati tra loro di 174mm.
Calcoliamoci n=sen 40° = 0.642.
I nostri meridiani da tracciare ogni 10° di longitudine saranno quindi archi di 10°*0.642 = 6.42°.
Tracciamoli.
Cancelliamo la parte che non ci serve (la parte dei meridiani più a Nord del 60° parallelo) e avremo al nostra proiezione.
Se con lo stesso procedimento tracciamo le proiezioni riferite al 40°, al 60° e al 20° parallelo (ad esempio), sovrapponendole possiamo vedere come queste non combacino affatto (era ovvio, essendo diversi sia R0 che n, funzioni delle diverse latitudini).
Questo a conferma di quanto già sapevamo, e cioè che le nostre proiezioni rappresentano con fedeltà la sfera terrestre solo nell'intorno della linea (in questo caso un parallelo) di tangenza.
Quando ci allontaniamo dalla isomecoica (è così che si chiama questa linea, per qualsiasi tipo di proiezione) la nostra rappresentazione diventa meno precisa e le deformazioni si fanno più sensibili, fino a degenerare decisamente.
Gli esempi sono volutamente stati svolti su intervalli di latitudine piuttosto cospicui per evidenziare le deformazioni
e le imprecisioni cui si va incontro, ad esempio, affiancando due carte che rappresentino due zone attigue.
Come potete a questo punto intuire, avendo l'accortezza di inclinare le due cartine in conformità alla convergenza dei meridiani, se le affianchiamo nel senso Ovest-Est sostanzialmente non incontriamo differenze.
Se invece le sovrapponiamo parzialmente in senso Sud-Nord le deformazioni reciproche possono essere piuttosto evidenti.
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