Fisica - dispense
I tre principi della Dinamica

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
 
In realtà li abbiamo già incontrati, almeno per un paio di questi.
Il PRIMO PRINCIPIO della dinamica dice che un corpo sottoposto a nessuna forza (o ad un sistema di forze a risultante nulla) mantiene il suo stato di moto rettilineo uniforme.
Questo concetto, per quanto a noi oggi familiare, non è in realtà così semplice da intuire, tanto è vero che per secoli si studiò quanto descrive Aristotele, e cioè che lo stato naturale di un corpo è la quiete (un oggetto, per quanto io possa spingerlo o lanciarlo, se lo lascio andare prima o poi si ferma).
Chi contestò questa apparente evidenza fisica fu Galileo Galilei, che sperimentando il moto di sfere metalliche su "piste" di legno si accorse che più le piste erano lisce e più lontano andavano le sfere .. giungendo alla conclusione che se non ci fosse stata una qualche forza che in qualche modo dipendeva dalla finitura delle sue piste di legno, le sfere avrebbero continuato a rotolare indefinitamente.
 
Lo stesso Galileo inventò il telescopio, con il quale poté osservare il cielo e in particolare si accorse che intorno a Giove c'erano dei sassolini che ruotavano all'infinito ... (i suo satelliti, i primi 4 scoperti, detti appunto Galileiani: Io, Europa, Ganimede e Callisto).
Per questo Galileo pensò che in realtà la condizione "normale" di un oggetto non sottoposto ad alcuna forza fosse il moto circolare uniforme.
Come però abbiamo visto nel capitolo precedente in realtà questa condizione è dovuta alla presenza della forza gravitazionale di Giove che fornisce l'accelerazione centripeta che fa deviare il moto rettilineo e lo trasforma in circolare (lo abbiamo visto nel capitolo precedente, non per Giove ma per la Terra - ovviamente le considerazioni valgono per qualsiasi altro corpo celeste e non).
Non voglio qui complicare le cose, ma in effetti il "moto rettilineo" che potremmo sperimentare sulla Terra, ad esempio facendo rotolare una sfera su una pista piana infinita, in realtà sarebbe un moto circolare (visto che la Terra è sferica la pista che ci appare piana in realtà è curva).
Newton raccolse questo principio e gli altri due che stiamo per enunciare nella sua opera "I principi matematici della filosofia naturale" del 1687 (all'epoca "filosofia naturale" e "fisica" erano sinonimi).

Il SECONDO PRINCIPIO della dinamica afferma che la variazione del moto di un corpo (cioè la sua accelerazione) è proporzionale alla forza ad esso applicata o, in modo semplice ed esplicito

F=ma

Dove :

  • F è la forza applicata al corpo
  • m è la massa del corpo
  • a è l'accelerazione cui il corpo è sottoposto a causa della forza F

Giusto per precisare, seppure ovvio, visto che l'accelerazione è un "vettore" e la massa uno "scalare" forza e accelerazione avranno stessi direzione e verso.
Le dimensioni della forza sono quindi massa per accelerazione cioè kg x m /s2
L'unità di misura è il NEWTON, definito come la forza che accelera di un m/s2 la massa di un kg.

Il TERZO PRINCIPIO della dinamica o principio di "AZIONE/REAZIONE" dice che se un corpo A esercita una "forza" F su un corpo B "istantaneamente" (o se preferite "contemporaneamente") il corpo B esercita una forza identica ma di direzione opposta sul corpo A.
Che esperienza abbiamo di questo?
Proviamo a spingere una cassa ... si sposta la cassa.
Proviamo a spingere la stessa cassa indossando dei pattini a rotelle ... ci spostiamo noi ...
La forza esercitata è la stessa, e in realtà anche quando si sposta la cassa, noi (e la Terra con noi) un pochino ci spostiamo all'indietro, ma essendo "solidali" con la Terra la nostra massa in realtà è la somma della massa della Terra più la nostra e così la nostra accelerazione diventa ridicolmente piccola.
Idem, all'opposto, quando è la cassa a non spostarsi.
Facciamo un altro esempio, più calzante ma meno "immediato" da capire (ne ho viste di persone finire in acqua perchè quello che andiamo a vedere non è così "immediato" al nostro istinto ...).
Se siamo su una piccola imbarcazione leggera (un canotto o una canoa, ad esempio, NON LEGATA) e ci spostiamo in avanti per raggiungere il molo ... noi ci spostiamo in avanti e la canoa si sposta all'indietro ...
La forza che noi esercitiamo credendo di fare un passo in avanti in realtà "spinge" la canoa all'indietro ...
Siccome noi ci spostiamo in avanti e la canoa all'indietro con la stessa forza è m1a1=-m2a2
Dove con m1 ed m2 indichiamo le masse nostre e della canoa e con a1 e a2 le corrispondenti accelerazioni ...

Se volessimo fare due conti (ad esempio vedere quanto vale l'accelerazione della canoa) si vede facilmente che a2=-a1 m1/m2 o anche a2/a1=-m1/m2
Cioè che il rapporto tra la nostra accelerazione e quella della canoa è uguale al rapporto tra la massa della canoa e la nostra.
Possiamo pensarla anche così ... se siamo in un sistema "chiuso" nulla di quello che possiamo fare all'interno di questo sistema può far accelerare l'intero sistema.
Siccome l'accelerazione dopo un po' si trasforma in velocità (matematicamente a x t = v) ... così come vale la relazione m1a1=-m2a2 possiamo considerare che valga anche m1v1=-m2v2

Il prodotto di massa per velocità spesso è più facile da utilizzare nei calcoli e prende il nome di "QUANTITA' DI MOTO".
Visto così si potrebbe dire che se produco una certa quantità di moto in un senso "automaticamente" se ne deve produrre una identica in senso opposto.
O ancora, che la quantità di moto totale dell'universo (che nel suo piccolo è un sistema chiuso) è costante (se spingo qualcosa in avanti qualcos'altro deve andare indietro).

Vediamo immediatamente un'applicazione pratica molto utile ... supponiamo di voler sollevare un peso Q molto grande (ad esempio una tonnellata) ma avere a disposizione solo il nostro piccolo fisico con una capacità di sollevamento di 50 kg ... come possiamo fare?
Possiamo utilizzare un meccanismo noto come "paranco"  ... Funziona così:
Se io sollevo un carico che è collegato ad una fune tramite una carrucola come indicato in figura ogni metro di corda che io recupero corrisponde al sollevamento del carico della metà (mezzo metro) o se volete io tiro la mia corda di un metro al secondo e sollevo il carico di mezzo metro al secondo ... rispettando la conservazione della quantità di moto, tanto ne produco verso il basso e tanto se ne alza ... alla metà della velocità sollevo il doppio del peso.
Quindi con una forza di 50 kg e un sistema di questo tipo solleverò 100 kg ... ma se raddoppio le carrucole (faccio passare di nuovo la corda su una seconda carrucola collegata al carico e su un'altra fissa) ogni volta che tiro un metro il mio carico si alzerà di soli 25 cm .. e i miei 50 kg solleveranno 200 kg !!!
Se voglio sollevare 1000 kg? Occorre che il peso si sollevi solo di un ventesimo del cavo che io ho fatto scorrere ... Quante carrucole servono?

Ogni "filo" si deve accorciare ovviamente della stessa quantità, e la somma dei tratti di cavo guadagnati su ogni filo è uguale all'avanzamento del cavo principale ... quindi se voglio sollevare un peso 20 volte la forza che posso applicare per sollevarlo .... dovrò realizzare un paranco con 20 cavi e quindi 10 carrucole mobili e 10 fisse .

Vi ricordate il "torchio idraulico" ? Avevamo visto come applicando una forza F1 su una pistone con sezione S1 collegato tramite un tubo ad un cilindro con un altro pistone di sezione S2 si otteneva una forza F2 tale che F2=F1 x S2/S1.
Questo perché la pressione P1 (F1/P1) sul pistone di sezione S1 doveva essere uguale alla pressione P2 sul pistone di sezione S2  e quindi F2 sarebbe stato P1xS2.
Però possiamo vedere la cosa esattamente come la questione paranco ... il pistone di sezione S1 per far sollevare il pistone di sezione S2 di un centimetro deve muovere un volume di fluido uguale ad un cm x S2 .. ma per farlo deve spostarsi di un valore S2/S1 cm ... cioè alla fine sollevo un peso S2/S1 volte la forza che applico di un cm se sposto il mio pistone di S2/S1 cm.
In soldoni se voglio sollevare un peso 10 volte più grande della forza che posso applicare devo avere un secondo pistone 10 volte più grande del primo, ma siccome mantengo il volume del fluido nei due cilindri il primo pistone scende 10 volte di più di quanto non salga il secondo.

Abbiamo fatto un po' di confusione tra forze e masse ? Tra velocità e spostamenti ?
Per quanto possa sembrare poco serio ... alla fine ... è lecito ...
Forza per spostamento è energia, e anche quella si mantiene (lo vediamo nel prossimo capitolo).
Forza per velocità è potenza, che è variazione di energia nell'unità di tempo .. se istante per istante si mantiene l'energia allora si mantiene anche la potenza.
Se invece di una forza che spinge consideriamo una massa che si abbassa e una che si alza ricadiamo nel discorso quantità di moto ...

Vediamo ancora un'altra applicazione di questi concetti : il cambio dell'automobile.
Qui manteniamo la "potenza" data dal motore sino alle ruote, passando per un movimento di rotazione e quindi avremo a che fare con velocità angolari e momenti di forze.
Come funziona il cambio di un'auto?
E in generale come faccio a trasformare una piccola forza applicata ad una cosa che si muove velocissima (il pistone nel cilindro fa tipo 6000 cicli al minuto) in una grande forza (in grado di spostare il peso di un'auto) per un movimento relativamente molto più lento?
Semplice ... faccio girare veloce una piccola ruota applicandoci una piccola forza (momento) e questa la collego ad una più grande ... dovendo corrispondere le velocità tangenziali (le ruote si toccano sul bordo) le velocità angolari saranno in "rapporto" alle circonferenze delle ruote dentate.
Anzi, siccome i denti devono ingranare uno nell'altro, ancora più semplicemente il "rapporto" tra le velocità angolari delle ruote sarà nello stesso rapporto tra il numero dei denti di una e dell'altra.
In rapporto inverso avremo il "momento" ... ovvero la "forza" sull'asse.
Capisco che il concetto possa essere un po' nebuloso, forse meglio descriverlo con un esempio.
Nel caso del cambio rappresentato a lato (4 marce) avremo che:
in 1° la ruota che trasmette la potenza ha 10 denti e la ruota che la riceve 40, per cui la velocità angolare ω1 sull'albero che va alle ruote sarà 1/4 della velocità angolare ω2 dell'albero motore, allo stesso tempo il "momento" sull'asse di trasmissione sarà 4 volte quello all'asse motore.
Infatti utilizziamo la 1° marcia a basse velocità e alti sforzi (per partire, quando dobbiamo accelerare il veicolo da zero o eventualmente in salite molto inclinate, quando abbiamo bisogno di una grande "forza" per vincere la forza di gravità e "sollevare" il peso dell'auto.
Un cambio come quello raffigurato qua sopra (sincronizzato a 4 marce) funziona più o meno così:
Le 4 ruote dentate rosse sono collegate solidali all'albero motore (in verità subito a monte ci sarebbe un riduttore - cioè un altro ingranaggio - e la frizione, ma questo esula dagli scopi del nostro esempio), e fanno girare le 4 ruote dentate blu, che invece sono "libere" rispetto all'asse che poi va alle ruote (alla trasmissione e al differenziale).
Con la leva del cambio faccio scorrere i due selettori che sono solidali all'asse di trasmissione e che vanno ad "agganciare" una delle 4 ruote dentate, "ingranando" la marcia selezionata.
A seconda del rapporto del numero di denti tra la ruota "conduttrice" (che è quella collegata all'albero che fornisce la potenza) e quella "condotta" (che è quella collegata all'albero che utilizza la potenza), avremo un rapporto di velocità e di momento (coppia) tra l'albero motore e quello di trasmissione.
Per il cambio rappresentato qui sopra i rapporti sono quelli nella tabella a lato.
Sul principio di "azione/reazione", cioè sul terzo principio della dinamica, si basa anche il funzionamento dei motori a getto o a razzo.
Nel caso del motore a getto si "aspira" aria dall'esterno e si accelera all'indietro, ottenendo una "spinta" in avanti del velivolo.
Nel motore a getto prendiamo aria dall'esterno, quindi il nostro a"sistema chiuso" è un po' più difficile da trattare.
E' invece molto più semplice vedere cosa succede nel caso di un motore a razzo.
Il principio è quello del palloncino ... noi lo gonfiamo e poi lo lasciamo andare .. l'aria esce dal foro e il palloncino viene spinto in direzione opposta.
I velivoli spaziali lavorano nella stessa maniera.
Hanno un serbatoio che contiene un "qualcosa" che buttano fuori all'indietro, spingendo in avanti l'astronave.
Di solito utilizziamo ossigeno e idrogeno, che quando si combinano insieme producono calore (combustione) che fa aumentare enormemente la temperatura e quindi il volume del gas (quello che esce alla fine è vapore acqueo), aumenta la temperatura e quindi il volume, e il gas esce a grande velocità.
La spinta del razzo sarà uguale alla massa del gas espulso per la sua accelerazione, o, se ci sembra più semplice, il nostro razzo si muoverà con una velocità tale da mantenere costante la somma delle "quantità di moto" (butto fuori m2 gas a velocità v2 e il mio razzo di massa m1 si muoverà alla velocità v1 tale che m1v1=m2v2).
Quindi, in assenza di forze gravitazionali (quindi nello spazio libero, sufficientemente lontani da pianeti o stelle), la velocità a cui possiamo sperare di far andare la nostra astronave è data dalla velocità alla quale siamo in grado di espellere il gas (ma anche qualsiasi altra cosa abbia una massa) moltiplicata per il rapporto tra la massa espulsa e la masse dell'astronave che vogliamo spostare.
Va da se che se potessimo "fissare" il centro di gravità del sistema "razzo+gas", questo resterebbe fermo indipendentemente dal modo in cui si dovesse muovere il razzo.
Ricordiamoci infatti che L (spazio .. lunghezza) = Vxt.

 

 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20