GEOMETRIA
05 - PROPRIETA' DEI TRIANGOLI

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SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO
E' il teorema, noto sin dalle elementari, che ci dice che la somma degli angoli interni di un triangolo vale sempre 180°.
Noi lo enunciamo così:

TEOREMA : La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un angolo piatto.

IPOTESI : ABC è un triangolo qualsiasi

TESI: La somma degli angoli interni  α + β + γ è uguale ad un angolo piatto

DIMOSTRAZIONE:
Sia ABC un triangolo su cui non facciamo alcuna ipotesi.
Tracciamo (sappiamo che è possibile) la retta r parallela al lato AC che passa per B.
Si osserva che l'angolo β1 è uguale a β perché alterni interni rispetto alla trasversale CB che taglia le due rette parallele r e AB.
Analogamente l'angolo α1 è uguale a α perché alterni interni rispetto alla trasversale AC che taglia le due rette parallele r e AB.

1° COROLLARIO:
In ogni triangolo ciascun angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti.

2° COROLLARIO:
Ogni triangolo ha almeno due angoli acuti.
3° COROLLARIO:
In un triangolo equilatero gli angoli interni sono la terza parte di un angolo piatto (60°)
4° COROLLARIO:
Due triangoli che abbiano due angoli rispettivamente uguali hanno uguale anche il terzo angolo.
5° COROLLARIO:
Un triangolo non può avere più di un angolo retto od ottuso.
Dal $° corollario possiamo dedurre una "variante" al 2° criterio di uguaglianza dei triangoli (quello per cui due triangoli sono uguali se hanno uguali due angoli e il lato tra essi compreso).
Dal momento che se hanno uguali due angoli anche il terzo lo sarà, possiamo dire che due triangoli sono uguali se hanno un lato e due angoli "ordinatamente" (e cioè che sono posizionati rispetto al lato noto nello stesso modo) uguali.
TEOREMA: In un triangolo con due lati diseguali, anche gli angoli opposti sono diseguali e a lato maggiore corrisponde angolo maggiore.

IPOTESI: ABC è un triangolo qualsiasi dove il lato AB è maggiore del lato BC

TESI: L'angolo in C, opposto al lato AB, è maggiore dell'angolo in B, opposto al lato AC.

DIMOSTRAZIONE:
Se il lato AB è maggiore del lato BC sarà possibile trovare un punto D su AB tale che AD=AC.
Il triangolo ADC risulta quindi isoscele e quindi gli angoli in ADC (δ)  ACA (β1) sono uguali.
Consideriamo il triangolo ADB: l'angolo esterno in D (δ) è maggiore di ciascuno dei due angoli interni come dal teorema che abbiamo visto nella dispensa 3 , in particolare a noi interessa che sia maggiore dell'angolo in A (α).
Dalla figura vediamo che β1è compreso dall'angolo β e quindi β1< β (angolo in B del triangolo ABC).
Quindi, ricapitolando:
α è minore di δ, che è uguale a β1 e quindi a è anche minore di β1.
β1 è minore di β e quindi anche α a maggior ragione sarà minore di β, come volevamo dimostrare.


 

TEOREMA: (inverso di quello che abbiamo appena visto) In un triangolo con due angoli diseguali, anche i lati opposti sono diseguali e ad angolo maggiore corrisponde lato maggiore.

IPOTESI: ABC è un triangolo qualsiasi dove l'angolo  in B è maggiore dell'angolo in A

TESI: Il lato AC, opposto all'angolo in B, è maggiore del lato BC, opposto all'angolo in A.

DIMOSTRAZIONE:
Intanto escludiamo che i due lati AC e AB siano uguali, perché per ipotesi gli angoli in A e in B sono diversi e quindi il nostro triangolo non è isoscele.
Se il lato CB fosse maggiore del lato AC, come abbiamo appena visto, l'angolo in A dovrebbe essere maggiore dell'angolo in B, che non è anche questo per ipotesi.
Quindi se CB non è uguale o maggiore di AC può solo esserne minore, come volevamo dimostrare.

 

TEOREMA: IMPORTANTISSIMO In un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due

IPOTESI: ABC è un triangolo qualsiasi

TESI: Il lato AB è minore della somma dei lati AC e BC.

DIMOSTRAZIONE:
Sul prolungamento del lato AC tracciamo il segmento CD = CB.
Il triangolo BCD è quindi isoscele e gli angoli δ e β1 sono uguali.
Consideriamo l'angolo β2 del triangolo ABD, somma degli angoli β1 e β e quindi maggiore di β1 e quindi maggiore anche di d.
L'angolo β2 è opposto al alto AD, che è la somma dei due lati AC e CB del triangolo ACB.
Dai teoremi che abbiamo appena visto il lato AB, opposto all'angolo δ non può essere maggiore del lato AD che è opposto all'angoloβ2, maggiore di δ, come volevamo dimostrare.

 

Dal teorema appena dimostrato se ne deduce facilmente che :

TEOREMA: IMPORTANTISSIMO In un triangolo ogni lato è maggiore della differenza degli altri due
Consideriamo un triangolo ABC qualsiasi, dove, per fissare le idee, sia il lato AC>CB.
Vogliamo dimostrare che AB>AC-CB.

Da quello che abbiamo appena visto AC<AB+BC
Quindi, sottraendo il lato BC ad ambo i membri della diseguaglianza si ottiene AC-BC<AB .. che è quello che volevamo dimnostrare.
 

Qui però voglio fare una parentesi.
Voglio ri-dimostrare questo teorema ma soprattutto questo concetto in modo ancora più esplicito (anche se meno rigoroso), in modo che resti ben chiaro e presente.
Questo perché durante i corsi di navigazione capita spessissimo di dover comporre velocità, quali ad esempio la velocità di un aereo rispetto all'aria e la velocità del vento per ottenere la velocità di spostamento dell'aereo rispetto al suolo.
Indipendentemente da quale che sia io calcolo che si fa e da come sono diretti vento e velocità dell'aereo, deve essere chiaro che mai e poi mai la velocità rispetto al suolo (terzo lato di un triangolo i cui altri lati sono da velocità aereo e velocità vento) potrà essere maggiore della somma della velocità dell'aereo più quella del vento (caso di vento alle spalle) o minore della differenza tra velocità dell'aereo e quella del vento (caso di vento frontale).
Se proviamo a costruire un triangolo che abbia un lato più lungo della somma degli altri due .. semplicemente non ci riusciamo.
Prendiamo tre segmenti, tali che a > b +c.
Ad una estremità di a appoggiamo il segmento b e all'altra estremità il segmento c.
Non esiste un movimento dei due segmenti (vedremo più avanti parlando di circonferenze e di luoghi geometrici) che li porti a toccarsi in qualche modo sino a che restano ancorati alle due estremità di a.

CRITERIO DI UGUAGLIANZA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI

Per i triangoli rettangoli vale un criterio di eguaglianza generale, che semplifica un po' le cose quando ci troviamo a lavorarci sopra:

Due triangoli rettangoli sono uguali se hanno anche (oltre all'angolo retto) altri due elementi (che non siano i due altri angoli interni) uguali.

Esaminiamo i diversi casi:

Supponiamo che i due triangoli abbiano uguali i due cateti, in questo caso sono uguali per il 1° criterio di uguaglianza dei triangoli (due lati e l'angolo tra essi compreso uguali)

Se invece hanno uguali un angolo acuto e un qualsiasi altro lato sono uguali per il 2° criterio di uguaglianza (un lato e i due angoli che lo comprendono uguali)

Se invece hanno un cateto e l'ipotenusa uguali si dimostra che:
Si considerino i due triangoli in figura, siccome AB = A1B1 esiste un movimento rigido che permette di ribaltare il secondo triangolo e spostarlo in modo tale che il lato A1B1 vada a sovrapporsi al lato AB.
Avendo per ipotesi C1B=BC il triangolo C1BC è isoscele, e quindi sono uguali i due angoli in C1 e C.
A questo punto ricadiamo nel secondo dei casi precedenti

NOTA:
Questo vale per i triangoli rettangoli ma non in generale per tutti i triangoli, ad es. i due triangoli a lato hanno un angolo e due lati uguali ma non sono uguali.

Concludiamo con due teoremi che lascio a voi il compito di dimostrare facilmente:
Se due triangoli ABC e A1B1C1 hanno due lati uguali (ad es. AB = A1B1 e AC = A1C1) e l'angolo tra loro compreso diverso con α>α1, allora il terzo lato BC opposto ad a è maggiore di B1C1 opposto ad α1.

E il loro opposto, se due triangoli hanno due angoli a due a due uguali e il terzo lato diverso, l'angolo opposto al terzo lato più grande è maggiore dell'angolo opposto al terzo alato più piccolo

 

 

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