GEOMETRIA
03 - TEOREMI SUI TRIANGOLI

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Ancora qualche teorema sui triangoli e qualche definizione, ci verranno comodi in seguito.
 

TEOREMA: In un triangolo qualsiasi angolo esterno è maggiore di ciascuno dei due angoli interni non adiacenti.

IPOTESI: ABC è un triangolo su cui non si fa alcuna ipotesi (quindi nessuna particolare relazione tra i lati o tra gli angoli)

TESI: L'angolo esterno in B (ζ) è maggiore dell'angolo interno in C(γ) e dell'angolo interno in A.

DIMOSTRAZIONE: Sia ABC un triangolo qualsiasi (che vuol dire che non è necessariamente rettangolo o isoscele o equilatero, ma che potrebbe anche esserlo senza che ciò cambi il senso della dimostrazione).
Vogliamo dimostrare che preso uno qualsiasi dei tre angoli esterni, questo è maggiore di ciascuno degli altri due angoli interni.
Facciamo la dimostrazione come in figura a lato, nel caso dell'angolo in B e dimostrando che l'angolo esterno in B è maggiore dell'angolo interno in C, ma la stessa dimostrazione si può applicare allo stesso angolo B per dimostrare che il suo esterno è maggiore dell'angolo interno in A.
Prolunghiamo il lato AB e valutiamo quindi l'angolo esterno ζ  costruito su questo prolungamento.
Dividiamo il lato CB in due parti uguali e sia P il punto medio di CB. Tracciamo il segmento AP e prolunghiamo con un altro segmento PD  = AP.
I triangoli ACP e PBD sono uguali perché:

  • i due angoli in P ( ε e η ) sono uguali perché opposti al vertice

  • i lati CP e PB sono uguali per costruzione

  • i lati AP e PD sono uguali per costruzione

I due triangoli sono uguali perché hanno due lati e l'angolo tra essi compreso uguali.

Quindi anche l'angolo in C ( γ ) è uguale all'angolo in B ( δ ).
Come si vede dalla figura δ è interno all'angolo  ζ e quindi è più piccolo, come volevamo dimostrare.

Possiamo ripetere la dimostrazione rifacendo costruzioni a considerazioni analoghe per gli altri angoli - si lasciano tali dimostrazioni come esercizio.
 
Tiriamo in ballo un altro postulato, cioè qualcosa che non si può dimostrare ma che accettiamo comunque per vero:

POSTULATO DELLA DIVISIBILITA':
QUALUNQUE GRANDEZZA E' DIVISIBILE IN UN NUMERO QUALSIASI DI PARTI UGUALI.

Da questo postulato consegue che dato un segmento AB esiste sempre uno ed uno solo punto P che lo divide in due parti uguali
e analogamente
Dato un angolo α esiste sempre una semiretta che lo divide in due angoli uguali α1 e α2
DEFINIZIONE: La bisettrice di un angolo piatto lo divide in due parti uguali. Questi angoli si dicono "angoli retti".
 

DEFINIZIONE: Due rette incidenti che formino un angolo retto si dicono PERPENDICOLARI ( o anche NORMALI)

TEOREMA : Due rette perpendicolari tra loro dividono il piano in quattro parti (angoli) uguali.

DIMOSTRAZIONE : Vediamo la figura a fianco: gli angoli sono a due e due supplementari e opposti al vertice, quindi sono tra loro uguali perché metà di un angolo piatto (per ipotesi), in quanto opposti al vertice e ancora perché supplementari di angoli uguali.
TEOREMA: Data una retta e un punto (appartenente o meno ad essa) esiste una ed una sola retta che passi per quel punto e che sia perpendicolare alla retta data.

Consideriamo diversi casi:

Primo caso, il punto P appartiene alla retta r, allora, per come abbiamo definito bisettrice e perpendicolare è sicuramente possibile tracciare una semiretta che divida l'angolo piatto in due, e quindi il teorema è dimostrato.

Caso in cui invece il punto P sia esterno a r. Allora tracciamo una retta qualsiasi s, questa formerà con la retta r un angolo qualunque  α  intersecandola in un punto M.
Tracciamo il segmento MT uguale al segmento PM e tale che formi con la stessa retta r un angolo uguale ad α dalla parte opposta rispetto a P.
Il triangolo TPM che si forma è isoscele e r è la sua bisettrice su base PT, che come abbiamo visto, coincide con l'altezza.
Pertanto l'angolo in H β è retto e quindi esiste la perpendicolare per P ad r.

Resta da dimostrare che questa perpendicolare è unica.
Tracciamo una qualsiasi altra retta s che intersecherà di nuovo r in un punto M.
L'angolo η esterno del triangolo PHM in M deve essere, lo abbiamo appena visto, maggiore di β.
Pertanto se β è retto, l'angolo η non può esserlo anche lui, e questo dimostra l'unicità della perpendicolare.

Da quanto abbiamo visto, parlando di perpendicolare per un punto P ad una retta r non sarà corretto dire UNA perpendicolare ma dovremo dire LA perpendicolare.
Il punto ove due rette perpendicolari si intersecano si dice PIEDE della perpendicolare.
In ultimo, se due rette intersecandosi formano angoli adiacenti diseguali si dicono OBLIQUE.

 

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